20260616145中学数学常用公式

完全平方公式

按照分配律展开即得，

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

平方差公式

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

立方差公式

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

对数相关

• ${\log }_{a}x=y⟺a^y=x(a>0,a\ne 1,x>0)$

对数换底公式

$${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$$

证明：设 $x={\log }_{a}b$，则

$$\begin{array}{c}b=a^x⟹\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}=\frac{{\log }_c{a}^x}{{\log }_{c}a}=x\end{array}$$

证毕。

为书写方便，以自然对数呈现，公式适用于任意底数的对数。

1. $\ln (ab)=\ln a+\ln b$
2. $\ln (a^b)=\ln a+\ln a+...+\ln a=b\ln a$
3. $\ln (\sqrt[b]{a})=\frac{1}{b}\ln a$
4. $\ln (a/b)=\ln a+\ln (b^{-1})=\ln a-\ln b$
5. ${\log }_{a}a\equiv 1$
6. ${\log }_{a}1\equiv 0$
7. $a^{{\log }_{a}x}=x$
8. ${\log }_a(a^x)=x$

第一个公式，设 $x=\ln a,y=\ln b$，则

$$\begin{array}{c}ab=e^x\cdot e^y=e^{x+y}\\ ⟹\ln (ab)=x+y=\ln a+\ln b\end{array}$$

证毕。

常用记号，

• $\lg x={\log }_{10}x$
• $\ln x={\log }_{e}x$
• $\log x={\log }_{2}x$

取整公式

设 $a,b\in Z^{+},a\le b$,

• $\lceil \frac{b}{a}\rceil =\lfloor \frac{b-1}{a}\rfloor +1$