202606161447二项式定理

二项式定理

中学数学中，完全平方公式相信大家都不陌生，打交道的次数很多了。有时候要凑公式，因式分解啥的啊，代数变换等都会用到。

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

推广一下，使用排列组合的思想，对于正整数 $n$，

$$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n{b}^0+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{a}^0{b}^n$$

考虑原始的含义，就是 $n$ 个 $(a+b)$ 相乘。我们可以用排列组合的思想确定其各项系数。原式展开后，肯定是 $k\cdot a^i{b}^j$ 的形式，其中 $k$ 是系数，$i,j$ 是次数，且次数之和为 $n$，因为乘了 $n$ 次嘛。那我们就可以这样理解，从 $n$ 里面选 $i$ 个 $a$，那么此时 $b$ 肯定是 $n-i$ 个，系数呢，就是有多少种选法可以组成前面的代数项。让 $i$ 从 $0$ 遍历到 $n$，就得到了原式的所有展开项。因此，

$$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{a}^i{b}^{n-i}$$

这就是二项式展开。

特别的，令 $a,b$ 都等于1得，

$$(1+1{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k=2^n$$

这就是著名得二项式定理，即：二项式展开项的系数之和（包含常数项）是一系列组合数的和。